Question

正三棱錐P-ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內切球與外接球的半徑之比為（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：三棱錐擴展為長方體，它的對角線的長度，就是球的直徑，求出正三棱錐的外接球半徑；再利用三棱錐的體積的兩種求法，列出關于該正三棱錐的內切球的半徑的等式，求出內切球的半徑，最后求得內切球與外接球的半徑之比即可．
解答：解：三棱錐擴展為長方體，它的對角線的長度，就是球的直徑，
設側棱長為a，則
它的對角線的長度為：a
球的半徑為：，
再設正三棱錐內切球的半徑為r，
根據三棱錐的體積的兩種求法，得
=[×3+]×r，
∴r=，
∴該正三棱錐的內切球與外接球的半徑之比為=．
故選D．
點評：本題考查棱錐的結構特征，內切球、外接球的知識，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題．