Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$a+\sqrt{2}b=2c$，則cosC的最小值為$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知余弦定理得cosC═$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{^{2}}{2}}{2ab}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由此利用基本事等式能求出cosC的最小值．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$a+\sqrt{2}b=2c$，
∴c²=$\frac{{a}^{2}+2^{2}+2\sqrt{2}ab}{4}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-\frac{{a}^{2}+2^{2}+2\sqrt{2}ab}{4}}{2ab}$
=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{^{2}}{2}}{2ab}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$
≥$\frac{2\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}^{2}}}{2ab}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．
當且僅當$\frac{3}{4}{a}^{2}$=$\frac{1}{2}^{2}$時，取等號，
∴cosC的最小值為$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)值的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意余弦定理和基本不等式的合理運用．