Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x+cos2x-m在[0，

π

2

]上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，則tan

x1+x2

2

的值為（　�。�

• A．

  3

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：利用兩角和與差的正弦將f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=2sin（2x+

π

6

）-m，由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求對(duì)應(yīng)區(qū)間上f（x）=2sin（2x+

π

6

）-m的值域，結(jié)合題意可從而可得答案．

解答：解：∵f（x）=

3

sin2x+cos2x-m
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-m
=2sin（2x+

π

6

）-m，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
∵f（x）=

3

sin2x+cos2x-m在[0，

π

2

]上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
∴正弦y=m與f（x）=

3

sin2x+cos2x在在[0，

π

2

]上有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖：
∴x₁+x₂=

π

3

，
∴tan

x1+x2

2

=tan

π

6

=

3

3

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查函數(shù)的零點(diǎn)與半角三角函數(shù)，求得

x1+x2

2

是關(guān)鍵，屬于中檔題．