Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=

2an

an+2

，an≠0，且a1=

1

2

，cn=(

2-2an

an

)(

1

2

)n(n∈N*)．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）求T_n=c₁+c₂+…+c_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1=

2an

an+2

，an≠0，可得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)可求

1

an

，進(jìn)而可求a_n
（Ⅱ）由Cn=(n+1)•(

1

2

)n，考慮利用錯(cuò)位相減可求．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=

2an

an+2

，an≠0，

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a1

=2，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
故

1

an

=

1

a1

+

1

2

(n-1)=

1

2

n+

3

2

所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

2

n+3

，
（Ⅱ）∵Cn=(n+1)•(

1

2

)n
∴Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(n+1)×(

1

2

)n①

1

2

Tn=       2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(n+1)×(

1

2

)n+1②
由①-②得

1

2

Tn =1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1

=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)•(

1

2

)n+1
=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Tn=3-

n+3

2n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的地推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和，這是數(shù)列求和的一個(gè)難點(diǎn)所在．