Question

在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,那么這個(gè)球的體積是_________.

Answer 1

思路解析:求球的體積的關(guān)鍵是確定球的半徑.把三棱錐P—ABC“補(bǔ)形”成棱長分別為a、b、c的長方體,顯然該長方體仍內(nèi)接于原來的球,且球的直徑等于長方體的對(duì)角線,即2R=l,其中l²=a²+b²+c².

于是R=,V_球=.

答案:

方法歸納  本題的求解利用了“構(gòu)造法”,也可以說是一種特殊的“補(bǔ)形法”.由三側(cè)棱兩兩互相垂直,可想到長方體的一個(gè)角,因而可構(gòu)造長方體進(jìn)行解題.

又如,在三棱錐的四個(gè)面中,直角三角形最多可有多少個(gè)?便可以構(gòu)造長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁,并考察三棱錐A₁—BB₁C,易知該三棱錐的每個(gè)面都是直角三角形,故最多有4個(gè)直角三角形,即每個(gè)面所在的三角形均是直角三角形.