已知a∈R,函數(shù)f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x

(Ⅰ)如果函數(shù)g(x)=f′(x)是偶函數(shù),求f(x)的極大值和極小值;
(Ⅱ)如果函數(shù)f(x)是(-∞,?+∞)上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)據(jù)次數(shù)為奇數(shù)的系數(shù)為0,時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)求出a;求出導(dǎo)函數(shù)的根,判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào),據(jù)極值的定義求出極值.
(Ⅱ)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù),據(jù)函數(shù)單調(diào)性已知對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立,判別式小于等于0求出a的范圍.
解答:解:f′(x)=
1
4
x2+(a+1)x+(4a+1)

(Ⅰ)∵f'(x)是偶函數(shù),
∴a=-1.
此時(shí)f(x)=
1
12
x3-3x
,f′(x)=
1
4
x2-3
,
令f'(x)=0,解得:x=±2
3

列表如下:精英家教網(wǎng)
可知:f(x)的極大值為f(-2
3
)=4
3
,f(x)的極小值為f(2
3
)=-4
3


(Ⅱ)∵f′(x)=
1
4
x2+(a+1)x+(4a+1)
,
△=(a+1)2-4•
1
4
•(4a+1)=a2-2a≤0
,
解得:0≤a≤2.
這時(shí)f'(x)≥0恒成立,
∴函數(shù)y=f(x)在(-∞,?+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù).
綜上,a的取值范圍是{a|0≤a≤2}.
點(diǎn)評(píng):被天籟村利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值;利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性已知求參數(shù)范圍:函數(shù)單增對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)大于等于0;函數(shù)單減對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令a=-1,b∈R,已知函數(shù)g(x)=b+2bx-x2.若對(duì)任意x1∈(-1,+∞),總存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x
(其中e為自然對(duì)數(shù)的底).
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)x0∈(0,e],使曲線(xiàn)y=g(x)在點(diǎn)x=x0處的切線(xiàn)與y軸垂直?若存在求出x0的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2013•太原一模)已知a∈R,函數(shù) f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),則曲線(xiàn)y=f(x)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為
3x+y=0
3x+y=0

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(2013•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求|f(x)|的最大值.

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