Question

已知函數f（x）=x³+ax²-1（a∈R是常數）．
（1）設a=-3，x=x₁、x=x₂是函數y=f（x）的極值點，試證明曲線y=f（x）關于點M(

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))對稱；
（2）是否存在常數a，使得?x∈[-1，5]，|f（x）|≤33恒成立？若存在，求常數a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由．
（注：曲線y=f（x）關于點M對稱是指，對于曲線y=f（x）上任意一點P，若點P關于M的對稱點為Q，則Q在曲線y=f（x）上．）

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）把a=-3代入函數解析式，求出函數的導函數，得到導函數的零點，求出M的坐標，求出曲線y=f（x）上任意一點P(x0，x03-3x02-1)關于M對稱的點Q，由Q的坐標適合函數解析式說明結論成立；
（2）把|f（x）|≤33恒成立轉化為-

32+x3

x2

≤a≤

34-x3

x2

，然后構造兩個函數g1(x)=-

32+x3

x2

=-x-

32

x2

，g2(x)=

34-x3

x2

=-x+

34

x2

，由導數求其最值得答案．

解答： （1）證明：當a=-3時，f（x）=x³-3x²-1，f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2，
∴M(

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))=M（1，-3），
曲線y=f（x）上任意一點P(x0，x03-3x02-1)關于M對稱的點為Q(2-x0，-x03+3x02-5)，
則f(2-x0)=(2-x0)3-3(2-x0)2-1=-x03+3x02-5，
∴點Q在曲線y=f（x）上，
∴曲線y=f（x）關于點M對稱；
（2）解：由|f（x）|≤33，即|x³+ax²-1|≤33，
得-33≤x³+ax²-1≤33，
x=0時，不等式恒成立；
x≠0時，不等式等價于-

32+x3

x2

≤a≤

34-x3

x2

，
作g1(x)=-

32+x3

x2

=-x-

32

x2

，g2(x)=

34-x3

x2

=-x+

34

x2

，
則g1/(x)=-1+

64

x3

，g2/(x)=-1-

68

x3

，
解g1/(x)=0，得x₁=4，
解g2/(x)=0，得x2=-

3	68

．
列表：

x	[-1，0）	（0，4）	4	（4，5]
g1/(x)	-	+	0	-
g1（x）	↘	↗	極大值	↘
g2/(x)	+	-	-	-
g2（x）	↗	↘		↘

g₁（-1）=-31，g₁（4）=-6，g1(x)=-

32+x3

x2

在[-1，0）∪（0，5]的最大值為-6；
g₂（-1）=35，g2(5)=-

91

25

，g2(x)=

34-x3

x2

在[-1，0）∪（0，5]的最小值為-

91

25

．
綜上所述，a的取值范圍為[-6，-

91

25

]．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值，掌握不等式恒成立時所取的條件，是壓軸題．