Question

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，數列{a_n} （n∈N^*）的各項都是整數，其前n項和為S_n，若點（a_2n-1，a_2n）在函數y=f（x）或y=g（x）的圖象上，且當n為偶數時，a_n=

n

2

，則
（1）S₈=

10

；
（2）S_4n=

2n²+n

．

Answer 1

分析：（1）當n為偶數時，a_n=

n

2

，則a_2n=n，由f（x）=2x-1，g（x）=-2x，點（a_2n-1，a_2n）在函數y=f（x）或y=g（x）的圖象上，得a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，從而可求得n為奇數時，a_2n-1=

n+1

2

，n為偶數時，a_2n-1=-

n

2

，易判斷a₁，a₅，a₉，…，成首項為1，公差為1的等差數列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首項為-1，公差為-1的等差數列，由此可得S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇），代入即可求值；
（2）由（1）得S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n），化簡即可得到答案．

解答：解：（1）當n為偶數時，a_n=

n

2

，
∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，點（a_2n-1，a_2n）在函數y=f（x）或y=g（x）的圖象上，
∴a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，
當a_2n=2a_2n-1-1時，2a_2n-1=a_2n+1=n+1，∴a_2n-1=

n+1

2

，
∵數列{a_n} （n∈N^*）的各項都為整數，
∴n為奇數時，a_2n-1=

n+1

2

，
令n=2k-1，k∈N^*，則a_4k-3=

2k-1+1

2

=k，即a₁，a₅，a₉，…，成首項為1，公差為1的等差數列；
當a_2n=-2a_2n-1時，a_2n-1=-

n

2

，
所以n為偶數時，a_2n-1=-

n

2

，
令n=2k′，k′∈N^*，則a_4k′-1=-

2k′

2

=-k′，即a₃，a₇，a₁₁，…，成首項為-1，公差為-1的等差數列；
所以S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈
=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇）
=

1

2

（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）
=10；
（2）由（1）知，n為偶數時，a_n=

n

2

，且a₁，a₅，a₉，…，成首項為1，公差為1的等差數列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首項為-1，公差為-1的等差數列，
所以S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）=

2n(1+2n)

2

=2n²+n．
故答案為：（1）10；（2）2n²+n．

點評：本題考查數列與函數的綜合、數列求和及數列的函數特性，考查學生分析解決問題的能力，本題對學生能力要求較高，難度較大．