Question

20．若直線ax+by-1=0（a＞0，b＞0）過圓x²+y²-2x-2y=0的圓心，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 直線ax+by-1=0過圓x²+y²-2x-2y=0的圓心，把圓心坐標帶入求出a，b的關(guān)系，利用基本不等式求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值．

解答 解：圓x²+y²-2x-2y=0，可知圓心為（1，1），半徑為2$\sqrt{2}$．
∵直線ax+by-1=0過圓x²+y²-2x-2y=0的圓心，
∴a+b=1（a＞0，b＞0），
那么：$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（a+b）=3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{2}$，當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2a}$，即b=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1）時取等號，
因此：$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值是：3+2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了圓與直線的關(guān)系和不等式相結(jié)合的運用能力．屬于基礎(chǔ)題．