Question

如圖，邊長為3的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．
（1）求證：A′D⊥EF；
（2）當BE=BF=

1

3

BC時，求三棱錐E-A′FD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件推導出DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，從而A′D⊥平面A′EF，由此能證明A′D⊥EF．
（2）由VE-A′FD=VD-A′FE，利用等積法能求出三棱錐E-A′FD的體積．

解答： （1）證明：將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，
使A，C兩點重合于點A′，則DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，
又∵A′E?面A′EF，A′F⊥面A‘EF，且A′E∩A′F=A′，
∴A′D⊥平面A′EF，∵EF?面A'EF，
∴A′D⊥EF．…（5分）
（2）解：在邊長為3的正方形ABCD中，
BE=BF=

1

3

BC=1，∴AE=CF=2，
∴EF=

2

，A′E=A′F=2，∴SA′EF=

7

2

，
∴VE-A′FD=VD-A′FE=

1

3

S△A′FE•AD=

7

2

．…（10分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．