Question

（2012•湖南）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x-

π

12

）-f（x+

π

12

）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先利用函數(shù)圖象求此函數(shù)的周期，從而計(jì)算得ω的值，再將點(diǎn)（

5π

12

，0）和（0，1）代入解析式，分別解得φ和A的值，最后寫出函數(shù)解析式即可；
（II）先利用三角變換公式將函數(shù)g（x）的解析式化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，再將內(nèi)層函數(shù)看做整體，置于外層函數(shù)即正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間上，即可解得函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間

解答：解：（I）由圖象可知，周期T=2（

11π

12

-

5π

12

）=π，∴ω=

2π

π

=2
∵點(diǎn)（

5π

12

，0）在函數(shù)圖象上，∴Asin（2×

5π

12

+φ）=0
∴sin（

5π

6

+φ）=0，∴

5π

6

+φ=π+2kπ，即φ=2kπ+

π

6

，k∈z
∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

∵點(diǎn)（0，1）在函數(shù)圖象上，∴Asin

π

6

=1，A=2
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（II）g（x）=2sin[2（x-

π

12

）+

π

6

]-2sin[2（x+

π

12

）+

π

6

]=2sin2x-2sin（2x+

π

3

）
=2sin2x-2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈z
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

∴函數(shù)g（x）=f（x-

π

12

）-f（x+

π

12

）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]k∈z

點(diǎn)評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式，利用函數(shù)解析式求復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，屬基礎(chǔ)題