已知函數(shù)f(x)=(mx+n)lnx的圖象過點A(e,e)且在A處的切線斜率為2,g(x)=數(shù)學公式x2+數(shù)學公式ax2+6x+2.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)對任意的x∈(0,+∞),f(x)≤g′(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

解:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)的圖象過點A(e,e),所以em+n=e,①
f′(x)=mlnx+m+,所以2m+=2,②
聯(lián)立①②解得m=1,n=0,
所以f(x)=xlnx.
(Ⅱ)由題意知,g′(x)=x2+ax+6,
f(x)≤g′(x),即xlnx≤x2+ax+6,
故a≥lnx-x-對任意x∈(0,+∞)成立,
令h(x)=lnx-x-(x>0),
則h′(x)=-1+==-=-
令h′(x)=0,因為x>0,則x=3,
當0<x<3時,h′(x)>0,當x>3時,h′(x)<0,
∴x=3時h(x)取最大值,h(x)max=ln3-5.
故a≥ln3-5.所以實數(shù)a的取值范圍為[ln3-5,+∞).
分析:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)的圖象過點A及在A處的切線斜率為2,列方程組即可解得;
(Ⅱ)f(x)≤g′(x),分離出參數(shù)a后構造函數(shù),轉化為函數(shù)最值問題解決;
點評:本題考查導數(shù)的幾何意義、應用導數(shù)求函數(shù)的最值問題,屬中檔題.恒成立問題往往轉化為函數(shù)的最值問題處理.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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