Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-4x+5，x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$若關于x的方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$
• B． $[{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}]$
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}）$

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，把方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實數(shù)根轉化為函數(shù)y=f（x）的圖象與y=kx-$\frac{1}{2}$的圖象有4個不同交點，數(shù)形結合得答案．

解答 解：方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與y=kx-$\frac{1}{2}$的圖象有4個不同交點．
如圖：

直線y=kx-$\frac{1}{2}$過定點（0，-$\frac{1}{2}$），且過（1，0）時，函數(shù)y=f（x）的圖象與y=kx-$\frac{1}{2}$的圖象有3個不同交點，
此時k=$\frac{-\frac{1}{2}-0}{0-1}=\frac{1}{2}$．
設直線y=kx-$\frac{1}{2}$與y=lnx（x＞1）切于點（x₀，lnx₀），則過該切點的切線方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$．
把（0，-$\frac{1}{2}$）代入切線方程，可得$-\frac{1}{2}-ln{x}_{0}=-1$，解得${x}_{0}=\sqrt{e}$．
∴切點為（$\sqrt{e}，\frac{1}{2}$），則切線斜率為$\frac{1}{\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{e}}{e}$．
∴方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{e}}{e}）$．
故選：D．

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．