Question

設(shè)f（x）=x³+bx²+cx+d，又k是一個(gè)常數(shù)，已知當(dāng)k＜0或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)0＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，現(xiàn)給下列命題：
（1）f（x）-4=0與f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根；
（2）f（x）=0與f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根；
（3）f（x）+3=0的任一實(shí)根大于f（x）-1=0的任一實(shí)根；
（4）f（x）+5=0的任一實(shí)根小于f（x）-2=0的任一實(shí)根．其中所有正確命題是________．

Answer 1

解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
當(dāng)k＜0或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)0＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，
故函數(shù)即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0
故f（x）-4=0與f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極大值點(diǎn)，故（1）正確；
f（x）=0與f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故（2）正確；
f（x）+3=0有一實(shí)根小于函數(shù)最小的零點(diǎn)，f（x）-1=0有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故（3）錯(cuò)誤；
f（x）+3=0有一實(shí)根小于函數(shù)最小的零點(diǎn)，f（x）-2=0有三個(gè)實(shí)根均大于函數(shù)最小的零點(diǎn)，故（4）錯(cuò)誤；
故答案為：（1）（2）（4）
分析：由已知中f（x）=x³+bx²+cx+d，當(dāng)k＜0或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)0＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0，分析出函數(shù)簡(jiǎn)單的圖象和性質(zhì)后，逐一分析四個(gè)結(jié)論的正誤，即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件，判斷出函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．