已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．
分析：利用向量的數(shù)量積公式可求|
AB
||
AC
|，根據(jù)三角形的面積公式，可得x+y+z=1，再利用基本不等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°
∴|
AB
||
AC
|•cos30°=2
3

∴|
AB
||
AC
|=4，
∴S△ABC=
1
2
|
AB
||
AC
|•sin30°=1=x+y+z
∴
1
x+y
+
4
z
=（
1
x+y
+
4
z
）（x+y+z）=5+
z
x+y
+
4(x+y)
z

∵x＞0，y＞0，z＞0
∴
z
x+y
+
4(x+y)
z
≥2
z
x+y
×
4(x+y)
z
=4
∴
1
x+y
+
4
z
的最小值是9
故答案為：9
點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值是（　　）
A、20B、18C、16D、9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定義f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，則f（x，y，z）的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定義：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
2x
+
2
y
的最小值為
9
9
，此時(shí)f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．

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