Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是1，其圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），則f（$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知函數(shù)f（x），得出A的值，再根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)M，求出φ的值，即可寫出f（x）的解析式，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．

解答 解：由函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，
∴A=1；
又其圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，或$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，或φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
又0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$；
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx；…（4分）
∴f（$\frac{3π}{4}$）=cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（6分）
故答案為：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系與兩角差的余弦公式的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．