Question

1．給定函數(shù)f（x），若對(duì)于定義域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，則稱函數(shù)f（x）為“爬坡函數(shù)”．
（1）證明：函數(shù)f（x）=x²+1是爬坡函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）=4^x+m•2^x+1+x+2m²-4是爬坡函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)$f（x）={x^2}+bx+c-\frac{4}$都不是爬坡函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義直接判斷f（x）-≥0恒成立即可；
（2）由題意可知，4^x+m•2^x+1+2m²-4≥0恒成立，利用換元思想，設(shè)2^x=t，則t＞0，上式變?yōu)閠²+2mt+2m²-4≥0，分別討論對(duì)稱軸，求出函數(shù)的最小值即可；
（3）由題意可知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，存在x，使得$f（x）={x^2}+bx+c-\frac{4}＜x$，相當(dāng)于f（x）-x=0有兩不相等的實(shí)根，得出${△_1}={（b-1）^2}-4（c-\frac{4}）＞0$，即b²-b+1-4c＞0對(duì)任意的實(shí)數(shù)b恒成立，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知${△_2}={1^2}-4（1-4c）＜0$．

解答 解：（1）∵$f（x）-x={x^2}-x+1={（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}＞0$，
∴f（x）≥x恒成立，即得函數(shù)f（x）=x²+1是爬坡函數(shù)；…（3分）
（2）由題意可知，4^x+m•2^x+1+x+2m²-4≥x恒成立，
∴4^x+m•2^x+1+2m²-4≥0恒成立．
設(shè)2^x=t，則t＞0，上式變?yōu)閠²+2mt+2m²-4≥0，
設(shè)g（t）=t²+2mt+2m²-4=（t+m）²+m²-4（t＞0）
①若-m＞0，則$g{（t）_{min}}={m^2}-4≥0$，解得m≤-2；
②若-m≤0，則g（0）=2m²-4≥0，解得$m≥\sqrt{2}$；
綜上所述，m的取值范圍是m≤-2或$m≥\sqrt{2}$；…（9分）
（3）由題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，存在x，使得$f（x）={x^2}+bx+c-\frac{4}＜x$，
即${x^2}+（b-1）x+c-\frac{4}＜0$，
故${△_1}={（b-1）^2}-4（c-\frac{4}）＞0$，即b²-b+1-4c＞0對(duì)任意的實(shí)數(shù)b恒成立，
∴${△_2}={1^2}-4（1-4c）＜0$，解得$c＜\frac{3}{16}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 考查了新定義類型的解題方法，應(yīng)緊扣定義，用到了二次函數(shù)對(duì)稱軸的討論和最值問題的轉(zhuǎn)換．