Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-2lnx$，a∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知點(diǎn)P（0，1）和函數(shù)f（x）圖象上動(dòng)點(diǎn)M（m，f（m）），對任意x∈[1，e），直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大于0或?qū)��?shù)小于0，得到關(guān)于x的不等式，解之即可；注意解不等式時(shí)要結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)圖象來解；
（2）因?yàn)閷θ我鈓∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值小于0恒成立的問題，對于導(dǎo)函數(shù)小于0在區(qū)間[1，e]上恒成立，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即函數(shù)f′（x）＜0恒成立，通過化簡最終轉(zhuǎn)化為f（m）＜1在區(qū)間[1，e]上恒成立，再通過研究f（x）在[1，e]上的單調(diào)性求最值，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果即可解決問題．注意分類討論的標(biāo)準(zhǔn)的確定．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=ax-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2}{x}$，
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-$\frac{2}{x}$＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，結(jié)合x＞0，解得x=$\sqrt{\frac{2}{a}}$，當(dāng)x∈（0，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）因?yàn)閷θ我鈓∈[1，e]，直線PM的傾斜角都是鈍角，
所以對任意m∈[1，e]，直線PM的斜率小于0，
即 $\frac{f（m）-1}{m}$＜0，所以f（m）＜1，即f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值小于1．
又因?yàn)閒′（x）=ax-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2}{x}$，令g（x）=ax²-2，x∈[1，e]，
①當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最大值為f（1）=$\frac{1}{2}$a＜1，所以a＜2，
故a≤0符和題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=$\sqrt{\frac{2}{a}}$，
①當(dāng)$\sqrt{\frac{2}{a}}$≤1，即a≥2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最大值f（e）=$\frac{1}{2}$ae²-2＜1，解得a＜$\frac{6}{{e}^{2}}$，故無解；
②當(dāng)$\sqrt{\frac{2}{a}}$≥e，即a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=$\frac{1}{2}$a＜1，解得a＜2，故0＜a＜$\frac{2}{{e}^{2}}$；
③當(dāng)1＜$\sqrt{\frac{2}{a}}$＜e，即$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，e）上單調(diào)遞增，故f（x）在區(qū)間x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）＜1}\\{f（e）＜1}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a＜\frac{6}{{e}^{2}}}\end{array}\right.$，故 $\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{6}{{e}^{2}}$．
綜上所述a的取值范圍a＜$\frac{6}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查不等式恒成立問題的基本思路，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后從函數(shù)的單調(diào)性入手分析，注意本題第二問討論時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)，一般要借助于函數(shù)圖象輔助來解決問題．一方面利用了數(shù)學(xué)結(jié)合思想，同時(shí)重點(diǎn)考查了分類討論思想的應(yīng)用，有一定難度．