Question

（本小題滿分12分）

已知：函數(shù)y＝f (x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f (x)＜0恒成立．

證明：（1）函數(shù)y＝f (x)是R上的減函數(shù)．

（2）函數(shù)y＝f (x)是奇函數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）見解析。

【解析】

試題分析：（1）設(shè)x₁＞x₂，則x₁－x₂＞0，而f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，

所以f (x₁)＝f (x₁－x₂＋x₂)＝f (x₁－x₂)＋f (x₂)＜f (x₂)，

即f (x₁)＜f (x₂)，所以函數(shù)在R上是減函數(shù)．                   ……6分

（2）由f (a＋b)＝f (a)＋f (b)得：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝f (0)，而f (0)＝0，

所以f (－x)＝－f (x)，即函數(shù)f (x)是奇函數(shù)．                    ……12分

考點(diǎn)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)奇偶性的判斷．函數(shù)的單調(diào)性。

點(diǎn)評(píng)：本題以抽象函數(shù)的單調(diào)性證明為載體考查了函數(shù)的奇偶性的定義，其中利用“湊配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的關(guān)鍵．