Question

已知函數(shù)，且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又g（1）=0，f（）=2-
（1）求f（x）的表達(dá)式及值域；
（2）問是否存在實(shí)數(shù)m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：滿足復(fù)合命題p且q為真命題？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)表達(dá)式的求解主要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，如此題中f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；求值域應(yīng)先判斷函數(shù)單調(diào)性，再求解
（2）復(fù)合命題p且q為真命題即p，q均為真命題，利用函數(shù)的單調(diào)性以及反函數(shù)的性質(zhì)，求出兩個(gè)命題不等式的解集即可求出結(jié)果．
解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，g（1）=0，則f（0）=1即b=1，
又由f（）=，得+2=2，可得a=-1，故f（x）的表達(dá)式為f（x）=（x≥0）
f（x）==在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞減，f（0）=1，又因?yàn)閒（x）＞0，所以f（x）的值域?yàn)椋?，1]
（2）復(fù)合命題p且q為真命題即要求p，q均為真命題．
命題p：∵f（x）在定義域[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）為真命題?m²-m＞3m-4≥0?m且m≠2；
命題q：g（），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，具有相同的單調(diào)性，所以f（）==，所以，即m．
p，q均為真命題時(shí)m的范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)、分式不等式的解法、命題的真假判斷等知識(shí)，考查分析問題解決問題的能力．