Question

張林在李明的農(nóng)場(chǎng)附近建了一個(gè)小型工廠，由于工廠生產(chǎn)須占用農(nóng)場(chǎng)的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入．工廠在不賠付農(nóng)場(chǎng)的情況下，工廠的年利潤(rùn)x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系x=2000

t

．若工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場(chǎng)s元（以下稱s為賠付價(jià)格）．
（1）將工廠的年利潤(rùn)w（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出工廠獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；
（2）若農(nóng)場(chǎng)每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002t²（元），在工廠按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場(chǎng)要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價(jià)格s是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中賠付價(jià)格為s元/噸，所以工廠的實(shí)際年利潤(rùn)為w=2000

t

-st．我們利用配方法易求出工廠方取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量；
（2）由已知得，若農(nóng)場(chǎng)凈收入為v元，則v=st-0.002t²．再由x=2000

t

．我們可以得到農(nóng)場(chǎng)凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)法，我們易求出答案．

解答：解：（Ⅰ）工廠的實(shí)際年利潤(rùn)為：w=2000

t

-st（t≥0）．
w=2000

t

-st=-s(

t

-

1000

s

)2+

10002

s

，
當(dāng)t=(

1000

s

)2時(shí)，w取得最大值．
所以工廠取得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量t=(

1000

s

)2（噸）．
（Ⅱ）設(shè)農(nóng)場(chǎng)凈收入為v元，則v=st-0.002t²．
v′=-

10002

s2

+

8×10003

s5

=

10002(8000-s3)

s5

，
將t=(

1000

s

)2代入上式，
得：v=

10002

s

-

2×10003

s4

．
又令v'=0，得s=20． 當(dāng)s＜20時(shí)，v'＞0；當(dāng)s＞20時(shí)，v'＜0，
所以當(dāng)s=20時(shí)，v取得最大值．
故在工廠按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場(chǎng)要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向張林的工廠要求賠付價(jià)格s為20元．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．