Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（I） 求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）判斷在線段B₁B上是否存在一點(diǎn)M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出

B1M

B1B

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中點(diǎn)E，連接A₁E，EC，易證平面A₁EC∥平面AB₁D，從而可證得A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得需要的各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可知點(diǎn)M是否存在．

解答：證明：（I）取B₁C₁的中點(diǎn)E，連接A₁E，EC，則A₁E

∥

.

AD，EC

∥

.

B₁D，A₁E∩EC=E，B₁D∩AD=D，
∴平面A₁EC∥平面AB₁D，A₁C?平面A₁EC，
∴A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，故可以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC=BC=BB₁=1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
則A₁（1，0，1），D（0，

1

2

，0），B₁（0，1，1），設(shè)M（0，1，h），
則

A1M

=（-1，1，h-1），

B1D

=（0，-

1

2

，-1），
∵A₁M⊥B₁D，
∴

A1M

•

B1D

=-1×0+1×（-

1

2

）+（h-1）×1=0，
∴h=

1

2

．
∴M為所在線段中點(diǎn)，
∴

B1M

B1B

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析、證明與運(yùn)算能力，屬于中檔題．