Question

定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，當(dāng)x∈[0，

π

2

），f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性將抽象不等式變?yōu)槿�角不等式，再由三角函�?shù)的有界性求參數(shù)m的范圍，本題中為了利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式需要根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0變?yōu)閒（sin²x-msinx+m）＞f（2），利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化，即可求得結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)又是減函數(shù)，
f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立?不等式f（sin²x-msinx+m）＞f（2）恒成立
?不等式sin²x-msinx+m＜2恒成立
?m（1-sinx）＜2-sin²x恒成立，
∵x∈[0，

π

2

），
∴m＜

2-xin2x

1-sinx

恒成立，
記g（x）=

2-xin2x

1-sinx

，x∈[0，

π

2

），令t=sinx，則t∈[0，1）
∴g（t）=

2-t2

1-t

，g′（t）=

(t-1)2+1

( 1-t) 2

＞0，
∴g（t）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（0）=2
∴m＜2
故答案為：（-∞，2）．

點評：本題考點是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查綜合利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性研究不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍，本題利用函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立求參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，本題中轉(zhuǎn)化后求最值要注意三角函數(shù)的有界性，求解本題時兩次利用轉(zhuǎn)化的思想，第一次是將不等式轉(zhuǎn)化為三角不等式，第二次是將三角不等式轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值，解題時要注意理解、領(lǐng)會本題中的轉(zhuǎn)化策略及理論依據(jù)，屬中檔題．