Question

13．已知圓O的直徑AB=4，定直線l到圓心的距離為6，且直線l⊥直線AB．點(diǎn)P是圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交l于M、N點(diǎn)．如圖，以AB為x軸，圓心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）⊙O的方程為x²+y²=4，直線l的方程為x=6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），由此能求出以MN為直徑的圓的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則${{y}_{0}}^{2}=4-{{x}_{0}}^{2}$，求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)和以MN為直徑的圓C截x軸的線段長度，由此能證明以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點(diǎn)．

解答 解：（1）∵圓O的直徑AB=4，定直線l到圓心的距離為6，且直線l⊥直線AB．
如圖，以AB為x軸，圓心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，
∴⊙O的方程為x²+y²=4，直線l的方程為x=6，
∵∠PAB=30°，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），
∴${l}_{AP}：y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，${l}_{BP}：y=\sqrt{3}（x-2）$，
將x=6代入，得M（6，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），N（6，-4$\sqrt{3}$），
∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），MN=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴以MN為直徑的圓的方程為（x-6）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{100}{3}$．
同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，所求圓的方程仍是（x-6）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{100}{3}$，
∴所求圓的方程為（x-6）²+（y+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{100}{3}$．
證明：（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，（y₀≠0）
∴${{y}_{0}}^{2}=4-{{x}_{0}}^{2}$，
∵${l}_{PA}：y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，${l}_{PB}：y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，
將x=6代入，得${y}_{M}=\frac{8{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，${y}_{N}=\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴M（6，$\frac{8{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），N（6，$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$），MN=|$\frac{8{y}_{0}}{{x}_{0}+2}-\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$|=$\frac{4|{x}_{0}-6|}{|{y}_{0}|}$，
MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-$\frac{2（3{x}_{0}-2）}{{y}_{0}}$），
以MN為直徑的圓C截x軸的線段長度為：
2$\sqrt{\frac{4（{x}_{0}-6）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}-\frac{4（3{x}_{0}-2）}{{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|}$$\sqrt{8（4-{{x}_{0}}^{2}）}$=$\frac{8\sqrt{2}}{|{y}_{0}|}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{|{y}_{0}|}|{y}_{0}|$=8$\sqrt{2}$．（為定值）
∴以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點(diǎn)（6-4$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程的求法，考查以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意直線與圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．