Question

7．設(shè)a∈（$\frac{2}{3}$，1），f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，x∈[-1，1]的最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求f（x）

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值關(guān)系，求出最值，列出關(guān)于a，b的方程，解得即可．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，a∈（$\frac{2}{3}$，1），x∈[-1，1]
∴f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
令f′（x）=0，解得x=0或x=a，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即-1≤x＜0，或a＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即a＜x≤1，函數(shù)單調(diào)遞增，
∵f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b，f（a）=-$\frac{1}{2}$a³+b，f（0）=b，f（1）=1-$\frac{3}{2}$a+b
∴f（-1）＜f（a），f（0）＞f（1），
∵f（x）最大值為1，最小值為-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴-1-$\frac{3}{2}$a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，b=1，
解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1，
∴f（x）=x³-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x²+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值問題，關(guān)鍵是判斷端點(diǎn)值和極值的大小，屬于中檔題．