Question

已知，函數(shù)，．（的圖象連續(xù)不斷）

(1) 求的單調(diào)區(qū)間；

(2) 當(dāng)時(shí)，證明：存在，使；

(3) 若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

(Ⅱ)存在，使．

(Ⅲ)　．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) ，．          2分

令，則．          3分

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

　　

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

.. ...4分

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，，

由(Ⅰ)知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．        5分

令．          ...6分

由于在單調(diào)遞增，則，因而．     7分

取，則，          ...8分

所以存在，使，即存在，使．   9分

(Ⅲ) 由及的單調(diào)性知．    10分

從而在區(qū)間上的最小值為．又由，，則　

．      11分

所以     12分

即          13分

所以　　　．          14分

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式證明問題，不等式的解法。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。本題采用“表解法”，清晰明了。涉及不等式證明問題，往往要轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)的最值，通過構(gòu)建a的不等式組，求得a的范圍。本題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要注意函數(shù)的定義域。