Question

4．平面內(nèi)動點P（x，y）與兩定點A（-2，0）、B（2，0）連線的斜率之積等于-$\frac{1}{3}$，若點P的軌跡為曲線E，過點Q（-1，0）作斜率不為零的直線CD交曲線E于C、D兩點
（Ⅰ）求曲線E的方程
（Ⅱ）求證：AC⊥AD
（Ⅲ）求四邊形ACOD面積的最大值（O為坐標原點）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線的斜率公式整理即可求得曲線E軌跡的方程；
（Ⅱ）由題意可知：設其直線方程為：x=my-1，代入直線方程，由韋達定理及向量的數(shù)量積的坐標運算，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=0，即可求得AC⊥AD；
（Ⅲ）即S_ACOD=2S_△COD，S_ACOD=2×$\frac{1}{2}$丨OQ丨丨y₁-y₂丨，由（Ⅱ）即可求得S_ACOD═2$\sqrt{-\frac{3}{（{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{4}{{m}^{2}+3}}$，即可求得四邊形ACOD面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：$\frac{y}{x-2}$•$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{1}{3}$（x≠2），整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$（x≠2），
曲線E的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$（x≠2）；
（Ⅱ）當直線CD的斜率不為0時，過點Q（-1，0），設其直線方程為：x=my-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，：整理得：（m²+3）y²-2my-3=0，
則y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$．
$\overrightarrow{AC}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{AD}$=（x₂+2，y₂），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂），
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1，
=（m²+1）（-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$）+m•$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$+1，
=$\frac{-3（{m}^{2}+1）+2{m}^{2}+{m}^{2}+3}{{m}^{2}+3}$=0，
∴AC⊥AD．
（Ⅲ）由Q是A，O中點，則四邊形ACOD的面積為2倍的三角形COD的面積，即S_ACOD=2S_△COD，
S_ACOD=2×$\frac{1}{2}$丨OQ丨丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2m}{{m}^{2}+3}）^{2}+\frac{12}{{m}^{2}+3}}$，
=2$\sqrt{\frac{4{m}^{2}+9}{（{m}^{2}+3）^{2}}}$，
=2$\sqrt{-\frac{3}{（{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{4}{{m}^{2}+3}}$，
當m=0時，四邊形ACOD面積最大，最大值為2．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查向量數(shù)量積的坐標運算及三角形面積公式的綜合應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．