設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0).
(1)將函數(shù)y=f(x)圖象向右平移一個單位即可得到函數(shù)y=φ(x)的圖象,寫出y=φ(x)的解析式及值域;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍.

解:(1)∵函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),將函數(shù)y=f(x)圖象向右平移一個單位可得到函數(shù)y=φ(x)的圖象,
∴y=φ(x)的解析式為:y=φ(x)=a2(x-1)2,由完全平方非負(fù)的特點可知其值域為:[0,+∞)
(2)解法一:不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個?(1-a2)x2-2x+1>0恰有三個整數(shù)解,
故1-a2<0.令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,由h(0)=1>0且h(1)=-a2<0(a>0)
所以函數(shù)h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一個零點在區(qū)間(0,1),另一個零點一定在區(qū)間[-3,-2)
解得
解法二:(1-a2)x2-2x+1>0恰有三個整數(shù)解,故1-a2<0,即a>1
(1-a2)x2-2x+1=[(1-a)x-1][(1+a)-1]>0
所以,又因為
所以,解得
分析:(1)由圖象的平移可知y=φ(x)的解析式;
(2)解法一不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個?(1-a2)x2-2x+1>0恰有三個整數(shù)解,故解得,
解法二:(1-a2)x2-2x+1>0恰有三個整數(shù)解,故1-a2<0,即a>1,可得,解得
點評:本題為函數(shù)的圖象變換,涉及不等式的解法和屬性結(jié)合的思想,屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x-aex-1
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≤0對x∈R恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)對任意n的個正整數(shù)a1,a2,…an記A=
a1+a2+…+an
n

(1)求證:
ai
A
e
ai
A
-1
(i=1,2,3…n)(2)求證:A
na1a2an

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn和通項an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)
(q是常數(shù)且q>0,q≠1,).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)當(dāng)q=
1
3
時,試證明a1+a2+…+an
1
2
;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=logqx,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),是否存在正整數(shù)m,使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
m
3
對任意n∈N*都成立?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-
a2

(1)求證:函數(shù)f(x)有兩個零點.
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,求|x1-x2|的范圍.
(3)求證:函數(shù)f(x)的零點x1,x2至少有一個在區(qū)間(0,2)內(nèi).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|(x∈R)四位同學(xué)研究得出如下四個命題,其中真命題的有( 。﹤
①f(x)是偶函數(shù);
②f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
③不等式f(x)<2010×2011的解集為∅;
④關(guān)于實數(shù)a的方程f(a2-3a+2)=f(a-1)有無數(shù)解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•杭州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
x2
ax-2
(a∈N*),又存在非零自然數(shù)m,使得f(m)=m,f(-m)<-
1
m
成立.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè){an}是各項非零的數(shù)列,若f(
1
an
)=
1
4(a1+a2+…+an)
對任意n∈N*成立,求數(shù)列{an}的一個通項公式;
(3)在(2)的條件下,數(shù)列{an}是否惟一確定?請給出判斷,并予以證明.

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