Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M為PB的中點(diǎn)．
（I）證明：MC∥平面PAD；
（II）求直線(xiàn)MC與平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接ME，DE，
∵△PAB中，M、E分別為PB、PA的中點(diǎn)，∴EM∥AB且EM=AB．
又∵AB∥DC，且DC=AB，∴EM∥DC，且EM=DC
∴四邊形DCME為平行四邊形，∴MC∥DE，
又∵M(jìn)C?平面PAD，DE?平面PAD，所以MC∥平面PAD；
（Ⅱ）取PC中點(diǎn)N，連接MN，則MN∥BC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵AC²+BC²=2+2=AB²，∴AC⊥BC
∵PA∩AC=A，PA⊥BC，AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC，
∵M(jìn)N為△PBC的中位線(xiàn)，可得BC∥MN
∴MN⊥平面PAC，可得∠MCN為直線(xiàn)MC與平面PAC所成角，
∵NC=PC=，MC=PB=，
∴Rt△MCN中，cos∠MCN==，
即直線(xiàn)MC與平面PAC所成角的余弦值為．
分析：（Ⅰ）取PA的中點(diǎn)E，連接ME、DE，可以證出四邊形DCME為平行四邊形，從而得到MC∥DE，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得到MC∥平面PAD；
（Ⅱ）取PC中點(diǎn)N，連接MN，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可證出BC⊥平面PAC，結(jié)合BC∥MN可得MN⊥平面PAC，∠MCN為直線(xiàn)MC與平面PAC所成角，最后在Rt△MCN中利用三角函數(shù)的定義，可求直線(xiàn)MC與平面PAC所成角的余弦值；
點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的四棱錐中求證線(xiàn)面平行并求直線(xiàn)與平面所成角的余弦，著重考查了直線(xiàn)與平面平行的判定定理、線(xiàn)面垂直的判定定理等知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，正確作出輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．