Question

已知偶函數(shù)f：Z→Z滿足f（1）=1，f（2011）≠1，對任意的a、b∈Z，都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，（注：max{x，y}表示x，y中較大的數(shù)），則f（2012）的可能值是________．

Answer 1

1
分析：先根據(jù)已知條件求出f（2），f（3），f（4）…找到其規(guī)律即可得到答案．
解答：證明：∵f（1）=1，f（a+b）≤max{f（a），f（b）}
f（2）≤max{f（1），f（1）}=1，即f（2）≤1，
f（3）≤max{f（1），f（2）}=1，即f（3）≤1，
f（4）≤max{f（1），f（3）}=1，即f（4）≤1，
…，
f（2011）≤max{f（1），f（2010）}=1，即f（2011）≤1．
因?yàn)?f（2011）≠1，所以f（2011）＜1，
從而 f（2012）≤max{f（1），f（2011）}=1，即f（2012）≤1．
假設(shè) f（2012）＜1，
因?yàn)?f（x）為偶函數(shù)，所以f（-2011）=f（2011）．
于是 f（1）=f（2012-2011）≤max{f（2012，f（-2011）}=max{f（2012），f（2011）}＜1，
即 f（1）＜1．這與f（1）=1矛盾．
所以f（2012）＜1不成立，從而只有f（2012）=1．
故答案為：1．
點(diǎn)評：本題主要考察函數(shù)的值．解決本題的關(guān)鍵在于一步步向前推，找到其最基本的地方即可．