Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=，EF=2．
（I）求證：DF∥平面ABE；
（II）設(shè)=λ，問(wèn)：當(dāng)λ取何值時(shí)，二面角D-EF-C的大小為．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)在一個(gè)平面上有兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面的兩條相交直線(xiàn)平行，得到兩個(gè)平面平行，根據(jù)面面平行再推出線(xiàn)面平行．
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面DEF的一個(gè)法向量和平面CEF的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，根據(jù)二面角D-EF-C的大小為，易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的方程，解方程即可得到λ的值．
解答：證明：（I）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，F(xiàn)C∩CD=C，…2分
∴面ABE∥面CDF…3分，
又DF?面CDF，
DF∥平面ABE；…4分
解：（II）過(guò)E作GE⊥CF交CF于G
∴EG∥BC∥AD且EG=BC=AD
∴EG=AD=，又EF=2，
∴GF=1
∵四邊形ABCD為科技，
∴DC⊥BC
∵∠BCF=，∴FC⊥BC
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC
∴FC⊥平面AC，
∴FC⊥D
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CD，CF分別為x，y，z軸建系，…6分
設(shè)CD=m，CF=λm
，B（，0，0），C（0，0，0）
∴=（-，0，1），=（0，-m，λm）…7分
取平面CEF的一個(gè)法向量=（0，1，0）…8分
取平面DEF的一個(gè)法向量=（x，y，z），則
，即
則=（1，，）…10分
則cos==…12分
解得：λ=2
即當(dāng)λ=2時(shí)，二面角D-EF-C的大小為…13分
點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求兩個(gè)平面間的夾角，本題解題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，把解題的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到數(shù)字的運(yùn)算．