Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)m的取值菹圍；

（3）證明：當(dāng)a=0時(shí)，．

 

Answer 1

（1） 參考解析；（2）；（3）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由于 ，．需求的單調(diào)區(qū)間，通過對函數(shù)求導(dǎo)，在討論的范圍即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）本小題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，求實(shí)數(shù)m的取值菹圍，使得有解，等價(jià)于小于函數(shù)，的最小值．所以對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的解析式，通過應(yīng)用基本不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最小值．即可得到結(jié)論．

（3）由于當(dāng)時(shí)，．本小題解法通過構(gòu)造．即兩個(gè)函數(shù)與的差，通過等價(jià)證明函數(shù)的最小值與函數(shù)的最大值的差大于2．所以對兩個(gè)函數(shù)分別研究即可得到結(jié)論．

（1） 的定義域是，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得．則當(dāng)時(shí)． ，所以單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

（2）由題意：有解，即有解，因此只需有解即可，設(shè)，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719271432693005/SYS201411171927338277936294_DA/SYS201411171927338277936294_DA.036.png">，且時(shí)，所以，即．故在上遞減，所以故．

（3）當(dāng)時(shí)，，與的公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719271432693005/SYS201411171927338277936294_DA/SYS201411171927338277936294_DA.046.png">，，設(shè)，．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719271432693005/SYS201411171927338277936294_DA/SYS201411171927338277936294_DA.049.png">，在單調(diào)遞增． ．又設(shè)，，．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以為的極大值點(diǎn)，即．故．

考點(diǎn)：1．函數(shù)的單調(diào)性．2．含不等式的證明．3．構(gòu)建新的函數(shù)問題．4．運(yùn)算能力．5．?dāng)?shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用．