Question

已知函數(shù)f（x）=（sinωx-cosωx）²+2sin²ωx（ω＞0）的周期為

2

3

π．
（Ⅰ） 求函數(shù)y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域；
（Ⅱ）求最小的正實(shí)數(shù)?，使得y=f（x）的函數(shù)圖象向右平移?個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)．

Answer 1

分析：把f（x）的解析式先利用完全平方公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)已知的周期，利用周期公式求出ω的值，從而確定出函數(shù)f（x）的解析式，
（Ⅰ）由函數(shù)定義域x的范圍，求出f（x）中正弦函數(shù)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到f（x）的值域；
（Ⅱ）先根據(jù)平移規(guī)律：左加右減，表示出f（x）的函數(shù)圖象向右平移?個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x），然后根據(jù)g（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義g（-x）=g（x），即可表示出φ，再根據(jù)φ＞0，得到滿足題意的最小正實(shí)數(shù)φ的值．

解答：解：f（x）=（sinωx-cosωx）²+2sin²ωx=1-2sinωxcosωx+（1-cos2ωx）
=2-sin2ωx-cos2ωx=2-

2

sin（2ωx+

π

4

）
由T=

2π

3

，得到|ω|=

3

2

，又ω＞0，
∴ω=

3

2

，
則f（x）=2-

2

sin（3x+

π

4

），
（Ⅰ）由0≤x≤

π

3

⇒

π

4

≤3x+

π

4

≤

5π

4

⇒-

2

2

≤sin(3x+

π

4

)≤1
則函數(shù)y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域?yàn)?span id="0qhbl69" class="MathJye">[2-

2

，3]；
（Ⅱ）∵y=f（x）的函數(shù)圖象向右平移?個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：
g(x)=2-

2

sin[3(x-?)+

π

4

]
則y=g（x）為偶函數(shù)，則有3(-?)+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)
則φ=-

k

3

π-

π

12

（k∈Z），又因?yàn)棣眨?，
∴滿足條件的最小正實(shí)數(shù)φ=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同時(shí)考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移規(guī)律以及偶函數(shù)的定義，其中靈活運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變形把已知函數(shù)化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，進(jìn)而利用周期公式求出ω的值，確定出f（x）的解析式是本題的突破點(diǎn)．