Question

在正三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF⊥DE且BC=

2

，若此正三棱錐的四個頂點都在球O的面上，則球O的體積是（　　）

• A．

  3

  6

  π
• B．

  3

  2

  π
• C．

  3

  3

  π
• D．3

  3

  π

Answer 1

分析：先證明三棱錐的三個頂角都是90°，然后根據(jù)底面邊長為

2

，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐可以看作是正方體的一個角，故此正三棱錐的外接求即此正方體的外接球，由此求出正方體的體對角線即可得到球的直徑，則體積易求．

解答：解：∵EF∥AC，EF⊥DE
∴AC⊥DE
∵AC⊥BD（正三棱錐性質(zhì)）
∴AC⊥平面ABD
所以正三棱錐A-BCD是正方體的一個角，AB=1，
從而得此正三棱錐的外接球即是相應(yīng)的正方體的外接球，此正方體的面對角線為

2

，邊長為1．
正方體的體對角線是

1+1+1

=

3

．
故外接球的直徑是

3

，半徑是

3

2

．
故其體積是

4

3

πR3=

4π

3

×(

3

2

)3=

3

2

π．
故選B．

點評：本題考查椎體體積計算公式，本題考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是找到球的直徑與其內(nèi)接多面體的量之間的關(guān)系，由此關(guān)系求出球的半徑進而得到其體積．考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．