Question

如圖，雙曲線C₁：與橢圓C₂：（0＜b＜2）的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線C₁上，線段OP與橢圓C₂交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求證：為定值（其中表示直線AA₁的斜率，等意義類(lèi)似）；
（II）證明：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）設(shè)滿足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正數(shù)m的最大值是b，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出A₁A₂的坐標(biāo)，再設(shè)出A、P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式結(jié)合兩圓錐曲線的方程，將進(jìn)行化簡(jiǎn)，可證出為定值-1；
（II）設(shè)，可得P（x，y），A（tx，ty），將此坐標(biāo)分別代入橢圓和雙曲線方程，聯(lián)解可將OA•OP-OA₂²這個(gè)式子化簡(jiǎn)為關(guān)于t的函數(shù)f（t），利用函數(shù)f（t）為單調(diào)減函數(shù)的性質(zhì)，可證出故：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）將雙曲線方程與子集中的方程聯(lián)解，化簡(jiǎn)得，因此對(duì)任意y不等于零，均有，故，可得m²≤3成立，因此因此b的值為．
解答：（I）解：由已知得A₁（-2，0），A₂（2，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由題意知A、P均在第一象限，
且滿足，．
則=…（3分）
而Q、O、A、P在同一直線上，所以x₁y₂=x₂y₁
故…（4分）
（II）證明：設(shè)，P（x，y），則A（tx，ty）且，
解之得：，且…（6分）
OA•OP-OA₂²=tOP²-OA₂²=，其中0＜t＜1
所以f′（t）=恒成立，，函數(shù)f（t）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，
因此當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f（t）＞f（1）=，即
故：△OAA₂與△OA₂P不相似．…（9分）
（III）解：由得，由得．
∴{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R}
因此?y≠0，??m²≤3所以b=
因此b的值為…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓方程、直線方程、圓錐曲線的基本量和圓與圓錐曲線的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．解決本題一方面要求對(duì)圓方程、直線方程、圓錐曲線的方程有熟悉的理解，另一方面要求對(duì)含有字母的代數(shù)式化簡(jiǎn)、計(jì)算要精確到位，具有較強(qiáng)的綜合性．