Question

6．有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三組；
（2）分給甲、乙、丙人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；
（3）分成每組都是2本的三個組；
（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本．

Answer 1

分析 （1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無序不均勻分組問題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問題．直接求出即可．
（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問題，列舉（AB，CD，EF），（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD）是一種分法，求出組合總數(shù)除以A³₃即可．
（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問題．直接求出即可

解答 解：（1）無序不均勻分組問題．先選1本有C¹₆種選法；再從余下的5本中選2本有C²₅種選法；最后余下3本全選有C³₃種方法，故共有C¹₆C²₅C³₃=60種．
（2）有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎上，還應考慮再分配，共有C¹₆C²₅C³₃A³₃=360種．
（3）無序均勻分組問題．先分三步，則應是C²₆C²₄C²₂種方法，但是這里出現(xiàn)了重復．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C²₆C²₄C²₂種分法中還有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A³₃種情況，而這A³₃種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=15種．
（4）在（3）的基礎上，還應考慮再分配，共有15A³₃=90種．

點評 本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，正確區(qū)分無序不均勻分組問題．有序不均勻分組問題．無序均勻分組問題．是解好組合問題的一部分；本題考查計算能力，理解能力