已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若bn=an+log2
1an
,設(shè)Sn=b1+b2+b3+…+bn,求Sn
分析:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,依題意,有
2a1+a3=3a2
a2+a4=2(a3+2)
,變?yōu)閍1,q的方程組,解出可求得an;
(Ⅱ)表示出bn,分組后分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式可求得Sn
解答:解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
依題意,有
2a1+a3=3a2
a2+a4=2(a3+2)
,即
a1(2+q2)=3a1q,①
a1(q+q3)=2a1q2+4,②
,
由①得q2-3q+2=0,解得q=2或q=1,
當(dāng)q=1時(shí),不合題意;當(dāng)q=2時(shí),代入②得a1=2,
∴an=2•2n-1=2n;
(Ⅱ)bn=an+log2
1
an
=2n+log2
1
2n
=2n-n,
∴Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n
=(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)
=
2(1-2n)
1-2
-
n(n+1)
2

=2n+1-2-
1
2
n-
1
2
n2
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和,等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式是解決問(wèn)題的基礎(chǔ),要熟練掌握.
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3
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12
,則n=
9
9

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