Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，則λ₁+λ₂的值為

 

．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點的坐標(biāo)，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求λ₁和λ₂ 的值．

解答：解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線 m：x=1 上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點（-

1

4

，

3

4

），AC的斜率為-

3

，
∴中垂線n的方程為 y-

3

4

=

3

3

（x+

1

4

）．
把直線 m和n 的方程聯(lián)立方程組解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），
由條件

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，
得（1，

2 3

3

）=λ₁（2，0）+λ₂（-

1

2

，

3

2

），=2λ₁-

1

2

λ₂，

3

2

λ₂ ），
∴2λ₁-

1

2

λ₂=1，

3

2

λ₂=

2 3

3

，∴λ₁=

5

6

，λ₂=

4

3

，∴λ₁+λ₂ =

13

6

，
故答案為

13

6

．

點評：本題考查求兩條直線的交點坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．