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設f（z）=2z（cos
π
6
+icos
2π
3
），這里z是復數，用A表示原點，B表示f （1+
3
i）所對應的點，C表示點-4i所對應的點，則∠ABC=
30°
30°
．
分析：先求得f （1+
3
i）=2
3
+2i，可得點B（2
3
，2）．再由點A和點C的坐標，可得
BA
 和
BC
 的坐標、模、以及 
BA
•
BC
 的值，再根據 cos＜
BA
，
BC
＞=
BA
•
BC
|
BA
|•|
BC
|
 求得＜
BA
，
BC
＞的值，可得∠ABC的值．
解答：解：∵f（z）=2z（cos
π
6
+icos
2π
3
）=2z（
3
2
-
1
2
i），
∴f （1+
3
i）=2（1+
3
i）•（
3
2
-
1
2
i）=2
3
+2i，故點B（2
3
，2）．
再由點A（0，0），點C（0，-4），可得
BA
=（-2
3
，-2），
BC
=（-2
3
，-6），
∴
BA
•
BC
=12+12=24，|
BA
|=4，|
BC
|=4
3
，∴cos＜
BA
，
BC
＞=
BA
•
BC
|
BA
|•|
BC
|
=
3
2
，
∴＜
BA
，
BC
＞=30°，故∠ABC=30°，
故答案為 30°
點評：本題主要考查復數的代數表示及其幾何意義，復數與復平面內對應點之間的關系，兩個向量的夾角公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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[　　]

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