Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)a＞2時，在（0，+∞）上恰有一個x₀使得g（x₀）=0；
（ii）求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

（1）解：當(dāng)a=1時，f（x）=（x-1）e^x+1，f'（x）=xe^x--------------------------------------（2分）
當(dāng)f'（x）＜0時，x＜0；當(dāng)f'（x）＞0時，x＞0
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（-∞，0）；增區(qū)間是（0，+∞）-------------------------（4分）
（2）證明：（�。ゞ（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），g'（x）=e^x（x-a+2）------------------（5分）
當(dāng)g'（x）＜0時，x＜a-2；當(dāng)g'（x）＞0時，x＞a-2
因為a＞2，所以函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增-----------------（7分）
又因為g（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
所以在（0，+∞）上恰有一個x₀使得g（x₀）=0．--------------------------------------------------（9分）
（ⅱ）解：若a≤2，可得在x∈[0，2]時，g（x）≥0，從而f（x）在[0，2]內(nèi)單調(diào)遞增，而f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，不符題意．-------------------------------------------------（10分）
∴a＞2
由（�。┲猣（x）在（0，x₀）遞減，（x₀，+∞）遞增，
設(shè)f（x）在[0，2]上最大值為M，則M=max{f（0），f（2）}，
若對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，則，------------------------------------（13分）
由f（2）≤0得（2-a）e²+2a-2+a≤0，∴，
又f（0）=0，∴．---------------------------------------------------------（15分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）確定函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增，即可證得結(jié)論；
（ⅱ）先確定a＞2，設(shè)f（x）在[0，2]上最大值為M，則M=max{f（0），f（2）}，由此可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查恒成立問題，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．