Question

已知拋物線的焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上一點(diǎn)A（a，4）到準(zhǔn)線的距離是5，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過M，N兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為T．
（I）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求的值；
（III）求證：的等比中項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，再結(jié)合點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離可求出p的值，進(jìn)而可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）先求出F的坐標(biāo)，然后設(shè)出直線MN的方程，聯(lián)立直線與拋物線消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，然后表示出，再對x²=4y進(jìn)行求導(dǎo)，表示出切線MT、NT的方程后聯(lián)立解出交點(diǎn)T的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)表示，最后使運(yùn)算等于0即可．
（III）根據(jù)（II）中的坐標(biāo)求出，再結(jié)合拋物線的定義課得到，再由并將直線方程y=kx+1代入，結(jié)合（II）中的兩根之和與兩根之積可得到得證．
解答：（I）解：由題意可設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p≠0）．
因?yàn)辄c(diǎn)A（a，4）在拋物線上，所以p＞0．
又點(diǎn)A（a，4）到拋物線準(zhǔn)線的距離是5，所以+4=5，可得p=2．
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y．

（II）解：點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，則F（0，1）．
依題意可知直線MN不與x軸垂直，
所以設(shè)直線MN的方程為y=kx+1.
因?yàn)镸N過焦點(diǎn)F，所以判別式大于零．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．

由于
切線MT的方程為，①
切線NT的方程為②
由①，②，得
則
所以

（III）證明：
由拋物線的定義知

=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4k²+4．

即的等比中項(xiàng)．
點(diǎn)評：本土主要考查直線與拋物線的綜合問題以及向量的運(yùn)算．直線與圓錐曲線是高考的重點(diǎn)問題，常以壓軸題的形式出現(xiàn)．