如圖,三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=PC=1,D是PB上一點,且CD⊥平面PAB,點E為PA的中點.
(1)求異面直線AP與BC所成角的大小;
(2)求二面角C-BE-A 的大。
分析:(1)求異面直線的夾角問題一般是平移直線或作異面直線的平行線,使之相交了放入某個三角形中求角即可.
(2)求二面角一般是先由其中一個平面內(nèi)的點作另一個平面的垂線,作出二面角,接著證明此角既是二面角,最后求出角即可,即作角、證角、求角的過程.
解答:解:(1)∵PC⊥平面ABC,AB?平面ABC,
∴PC⊥AB,
∵CD⊥平面PAB,AB?平面PAB,
∴CD⊥AB.又PC∩CD=C,
∴AB⊥平面PCB過點A作AF∥BC,且AF=BC,連接PF、FC,
則∠PAF為異面直線PA與BC所成的角.
由題意可得AB⊥BC,∴CF⊥AF,
由三垂線定理,得PF⊥AF,則AF=CF=1,PF=
2

在Rt△PFA中,cos∠PAF=
AF
AP
=
1
3
=
3
3
,
∴異面直線PA與BC所成的角為arccos
3
3

(2)在△BCE中過點C作CG⊥BE,垂足為G,連接FA,
∵△CBE≌△ABE,
∴AG⊥BE,∴∠CGA為二面角C-BE-A的平面角,
在△CEB中BC=1,CE=BE=
3
2
,由面積相等得CG=
6
3
,同理AG=
6
3
,
在△CGA中,由余弦定理得,cos∠CGA=
CG2+AG2-AC2
2CG2
=-
1
2

所以二面角C-BE-A為120°.
點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征,把空間幾何問題逐步轉(zhuǎn)化為平面問題,一般是利用解三角形的一個知識解決問題.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點,且CD⊥平面PAB
(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求二面角C-PA-B的大小的正弦值.

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(2006•石景山區(qū)一模)如圖,三棱錐P-ABC中,
PA
AB
=
PA
AC
=
AB
AC
=0
PA
2
=
AC
2
=4
AB
2

(Ⅰ)求證:AB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若M為線段PC上的點,設(shè)
|
PM|
|PC
|
,問λ為何值時能使直線PC⊥平面MAB;
(Ⅲ)求二面角C-PB-A的大。

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(2012•湖南模擬)如圖,三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC⊥底面ABC,∠APC=90°,且AB=4,AP=PC=2,BC=2
2

(Ⅰ)求證:PA⊥平面PBC;
(Ⅱ)若E為側(cè)棱PB的中點,求直線AE與底面ABC所成角的正弦值.

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(2012•德陽二模)如圖,三棱錐P-ABC中,PA丄面ABC,∠ABC=90°,PA=AB=1,BC=2,則P-ABC的外接球的表面積為

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精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中,AB⊥PC,AC=2,BC=4,AB=2
3
,∠PCA=30°.
(1)求證:AB⊥平面PAC. (2)設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•,求tanθ•的值.

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