Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點(diǎn)（1，

3

2

）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△AF₂B的面積為

12 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，又點(diǎn)（1，

3

2

）在橢圓C上，利用橢圓定義可求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)，從而求出橢圓C的方程；
（2）為避免討論可設(shè)過F₁的直線l的方程為x=ty-1，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線和橢圓兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，△AF₂B的面積就是

1

2

|F1F2||y1-y2|=

12 2

7

，由此求出t的值，則直線l的方程可求．

解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由|F₁F₂|=2得c=1，∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
又點(diǎn)（1，

3

2

）在橢圓C上，∴2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，a=2．則b²=a²-c²=4-1=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）如圖，
設(shè)直線l的方程為x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把x=ty-1代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：（3t²+4）y²-6ty-9=0

∴ y1+y2= 6t 3t2+4 y1y2= -9 3t2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 6t 3t2+4 )2-4× -9 (3t2+4)

=

12 t2+1

3t2+4

，
∴S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

12 t2+1

3t2+4

=

12 2

7

，
解得：t2=-

17

18

（舍）或t²=1，t=±1．
故所求直線方程為：x±y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，采用了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)方法，該題把直線l的方程設(shè)為x=ty-1，避免了討論直線斜率存在和不存在的情況，此題屬中檔題．