Question

已知有下列四個(gè)命題：
①若a、b∈R且a+b=2，則

1

a

+

1

b

的最小值為2；
②函數(shù)f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數(shù)；
③若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1．則4為f（x）的一個(gè)周期；
④函數(shù)y=2cos²x+sin2x的最小值為

2

+1．正確命題是

 

．

Answer 1

分析：①舉反例，即可說明該命題不正確；
②求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定命題的正確與否；
③以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），從而得到結(jié)論；
④先利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)，再利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最小值．

解答：解：①若a、b∈R且a+b=2，則

1

a

+

1

b

的最小值為2，錯(cuò)，如a=4，b=-2，滿足a+b=2，但是

1

a

+

1

b

=-

1

4

；
②f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函數(shù)f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數(shù)；故該命題正確；
③∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4為f（x）的一個(gè)周期；該命題正確；
④y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)
=1+

2

sin(2x+

π

4

)
當(dāng) 2x+

π

4

=2k π-

π

2

，有最小值1-

2

故該命題錯(cuò)；
故答案為：②③

點(diǎn)評：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查基本不等式求最值，注意正、定、等三方面兼顧，以及函數(shù)的周期性的定義，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．