已知不過坐標(biāo)原點的直線與拋物線相交于、兩點，且，于.

①求證：直線過定點；　　　　

②求點的軌跡方程.

 

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】（1）為避免對斜率不存在情況的討論，可以設(shè)直線方程為,然后根據(jù)題目給的方程條件,即可確定b的值或找到b與t的關(guān)系,進(jìn)而確定定點.

(2)由于第一問確定了定點C（2,0）,然后可知點E在以O(shè)C為直徑的圓上.求出此圓的方程即可.

也要利用交軌法求其軌跡方程.

解：令直線與拋物線相交于、兩點

　　　　　　　　�。ńo直線方程給分）　　　　　　　　　　……………………1分

　　　　　　　  ……………………2分

 于是，、是此方程的兩實根，由韋達(dá)定理得：

　　　　　　　　　　　 ……………………3分

　　   …………4分

     又　　　　　　　       　　……………………5分

∴                           ……………………6分

故直線：過定點　　　　　　　　　  ……………………8分

②∵,,                        ……………………9分

∴點的軌跡是以線段為直徑的圓除去點，　　　　　……………………11分

故點的軌跡方程為 　　　　　　……………………12分

說明：直線的方程設(shè)為又沒有討論不存在的情況扣2分；軌跡方程中沒有限制     扣1分.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不過坐標(biāo)原點O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求證：直線L過定點；
②求點E的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜率為-2的直線與橢圓C：
x2
a2
+y2=1(a＞0)交于A，B兩點，且線段AB的中點為E(
1
2
，
1
2
)．直線l2與y軸交于點M（0，m）（m≠0），與橢圓C交于相異兩點P，Q，O為坐標(biāo)原點，且
PM
=λ
MQ
，
OP
+λ
OQ
=4
OM
，λ∈R．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求λ的值；
（3）求m的取值范圍．

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已知為坐標(biāo)原點，直線與圓分別交于兩點．若，則實數(shù)的值為（   ）

A．1          B．         C．           D．

 

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已知不過坐標(biāo)原點O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求證：直線L過定點；
②求點E的軌跡方程．

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