Question

已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三個元素，若A中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合A共有（ ）
A．C₂₀₁₀³個
B．A³₂₀₁₀個
C．2A²₁₀₀₅個
D．2C²₁₀₀₅個

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，首先將將s中的元素分為2奇數(shù)與偶數(shù)兩組；假設(shè)A中有2個元素為a、b，且a＜b；分析可得，當(dāng)且進(jìn)當(dāng)a、b同是奇數(shù)或偶數(shù)時；其等差中項在A中；由組合數(shù)公式，計算可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，將s中的元素分為2組，一組為奇數(shù)，令一組為偶數(shù)；
假設(shè)A中有2個元素為a、b，且a＜b；
分析可得，當(dāng)且進(jìn)當(dāng)a、b同是奇數(shù)或偶數(shù)時；其等差中項在A中；
即在奇數(shù)組或偶數(shù)組中任取2個元素可以滿足條件；
則若A中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合A共有2C²₁₀₀₅個；
故選D．
點評：解本題的關(guān)鍵在于分析A中的三個元素構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件，注意其中可能重復(fù)情況的分析與排除．