Question

函數(shù)f（x）=x²-mln+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知當(dāng)m≤-（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在x∈（-，]至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞e+1成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，并求出f′（x）=0時(shí)x的值，在定義域內(nèi)取m的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的增減性，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）在x∈（-，]至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范圍．所以在根據(jù)第一問函數(shù)的增減性得到在x∈（-，]區(qū)間f（x）的最大值即可；
（Ⅲ）把m=-1代入求出f（x），然后構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-x，求出g′（x）并討論得到g（x）在（0，1）為減函數(shù)，對(duì)任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g(shù)（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．即f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）解出即可得證．
解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定義域?yàn)閤∈（-，+∞）．
f′（x）=x-+m==．
由f′（x）=0得：x=0或x=-m-．
∵m＜0，∴-m-∈（-，+∞）．
∴（1）當(dāng)-≤m＜0時(shí)，則x∈（-，-m-）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（-m-，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)m＜-時(shí)，則x∈（-，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（0，-m-）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（-m-，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．

（Ⅱ）在x∈（-，]上至少存在一點(diǎn)x，使f（x）＞g+1成立，
等價(jià)于當(dāng)x∈（-，]時(shí)，f（x）_max＞g+1．
∵m≤-，∴≤-m-．
由（Ⅰ）知，x∈（-，0]時(shí)，f（x）為增函數(shù)，x∈[0，）時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
∴在x∈（-，]時(shí)，f（x）_max=f（0）=-2m．∴-2m＞g+1，即m＜．
檢驗(yàn)，上式滿足m≤-，所以m＜是所求范圍．

（Ⅲ）當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+ln-x+2．
構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-x，并求導(dǎo)得g′（x）=x+-==
顯然當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴對(duì)任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g(shù)（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．
即f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）
即．又∵x₂-x₁＞0，∴．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，理解函數(shù)的最值及幾何意義，掌握利用函數(shù)增減性證明不等式的方法．