Question

甲、乙兩名射手各進(jìn)行一次射擊，射中環(huán)數(shù)ξ₁，ξ₂的分布列分別為：

ξ1	8	9	10
P	0.3	0.5	a

ξ2	8	9	10
P	0.2	0.3	b

（I）確定a、b的值，并求兩人各進(jìn)行一次射擊，都射中10環(huán)的概率；
（II）兩各射手各射擊一次為一輪射擊，如果在某一輪射擊中兩人都射中10環(huán)，則射擊結(jié)束，否則繼續(xù)射擊，但最多不超過(guò)4輪，求結(jié)束時(shí)射擊輪次數(shù)η的分布列及期望，并求結(jié)束時(shí)射擊輪次超過(guò)2次的概率．

Answer 1

解：（I）有分布列得：0.5+0.3+a=1，解出a=0.2，
又由于0.2+0.3+b=1，解出b=0.5，
設(shè)“兩人在一次射擊中都射中10環(huán)”為事件A，
P（A）=P（ξ₁=10）•P（ξ₂=10）=0.2×0.5=0.1；
（II）由于η表示兩各射手各射擊一次為一輪射擊，如果在某一輪射擊中兩人都射中10環(huán)，則射擊結(jié)束，否則繼續(xù)射擊，但最多不超過(guò)4輪，結(jié)束時(shí)射擊輪次數(shù)，則由題意可知：η的可能值為：1，2，3，4，
P（η=1）=0.1；
P（η=2）=0.1×0.9=0.09；
P（η=3）=0.1×=0.081；
P（η=4）=0.1×0.9³+0.9⁴=0.729；
所以η的分布列為：

所以隨機(jī)變量η的期望Eη=1×0.1+2×0.09+3×0.081+4×0.729=3.439，
設(shè)“結(jié)束射擊時(shí)超過(guò)2輪次”為事件B，
則P（B）=0.081+0.729=0.81，
答：結(jié)束時(shí)射擊輪次超過(guò)2次的概率為0.81．
分析：（I）由題意及分布列的性質(zhì)可知0.5+0.3+a=1 解出a=0.2，又由于0.2+0.3+b=1 解出b=0.5，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可；
（2）由于η表示兩各射手各射擊一次為一輪射擊，如果在某一輪射擊中兩人都射中10環(huán)，則射擊結(jié)束，否則繼續(xù)射擊，但最多不超過(guò)4輪，結(jié)束時(shí)射擊輪次數(shù)，則由題意可知：η的可能值為：1，2，3，4，利用隨機(jī)變量的定義及分布列定義可得η的分布列，并利用分布列及互斥事件的概率公式求出其期望和結(jié)束時(shí)射擊輪次超過(guò)2次的概率．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)于分布列的性質(zhì)的理解及應(yīng)用，還考查了對(duì)于隨機(jī)變量的準(zhǔn)確理解及每一個(gè)值下的準(zhǔn)確使用各個(gè)隨機(jī)事件的概率公式，還考查了隨機(jī)變量的期望，容易在分清事件類型上出錯(cuò)，若出錯(cuò)還是事件概念混淆導(dǎo)致，多注意理解與區(qū)分即可．