Question

若各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)的數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是同一常數(shù)，則稱(chēng)該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為T(mén)_n，并且，求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且．對(duì)?n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∴a_n[a_n-（2n-1）]=0
∴a_n=2n-1，或a_n=0
（Ⅱ）由{a_n}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，即為首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，
∴
由得
∴①；②
①-②可得
∴
不等式即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4
也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即需要恒成立
由于n=1，2，3時(shí)，3n+1＞2ⁿ；n=4時(shí)，3n+1＜2ⁿ；
假設(shè)n=k（k≥4）時(shí)，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
歸納知：n≥4時(shí)，3k+1＜2^k，，∴m-3≤0，
故m的取值范圍為m≤3
分析：（Ⅰ）利用，根據(jù)新定義，可求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）由{a_n}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，即為首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，從而不等式即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4，分離參數(shù)可得恒成立，利用歸納法，可求m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法求和，恒成立，數(shù)學(xué)歸納法，探索分析和推理解決問(wèn)題的能力．