Question

下列命題中，
①命題“?x∈（0，2），x²+2x+2＜0”的否定是“?x∈（0，2），x²+2x+2＞0”；
②

x＞1 y＞2

是

x+y＞3 xy＞2

的充要條件；
③一個命題的逆命題為真，它的否命題也一定為真；
④“9＜k＜15”是“方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示橢圓”的充要條件．
⑤設P是以F₁、F₂為焦點的雙曲線一點，且

PF 1

•

PF 2

=0，若△PF₁F₂的面積為9，則雙曲線的虛軸長為6；
其中真命題的是

 

（將正確命題的序號填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①小于0的否定是大于等于0，結論否定錯誤；
②由定義和舉反例取x=

1

2

，y=10，即可否定；
③互為逆否命題的兩命題等價，逆命題和否命題互為逆否命題，即可判斷；
④利用橢圓定義求解，分充分性和必要性判斷；
⑤利用雙曲線的焦三角形性質(zhì)求解，然后判斷．

解答： 解：①根據(jù)命題“?x∈（0，2），x²+2x+2＜0”是特稱命題，其否定為全稱命題，即?x∈（0，2），x²+2x+2≥0．故①錯誤；
②

x＞1 y＞2

可推出

x+y＞3 xy＞2

，反之，不成立，比如取x=

1

2

，y=10，滿足

x+y＞3 xy＞2

，但推不出x＞1且y＞2，故應為充分不必要條件，故②錯誤；
③互為逆否命題的兩命題等價，逆命題和否命題互為逆否命題，故③正確；
④當9＜K＜12和12＜K＜15時，15-K＞0，K-9＞0，且15-K≠K-12，此時方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示橢圓，但是當K=12時，有15-K=K-9，那么

x2

15-k

+

y2

k-9

=1就表示一個圓，
∴當9＜K＜15時，不能推導出方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示橢圓，但是當方程

x2

15-k

+

y2

k-9

=1表示橢圓時，可以推導出9＜K＜15，故9＜K＜12是 方程表示橢圓必要不充分條件，故④錯誤；
⑤由題意可得||PF₁|-|PF₂||=2a（a＞0），兩邊平方展開得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=4a² 記為*式，
又

PF 1

•

PF 2

=0，得PF₁⊥PF₂，則有|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
且由△PF₁F₂的面積為S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=9，得|PF₁|•|PF₂|=18，
都代入*式，得4c²-36=4a²，即4c²-4a²=36，即b²=c²-a²=9，b=3，虛軸長為2b=6，故⑤正確，
其中真命題的是③⑤，
故答案為：③⑤．

點評：本題考查四種命題及真假的判斷，考查充分必要條件的判斷，注意運用定義，非常容易出錯，屬較難的題目．